Question

设m，n∈N，f（x）=（1+x）m+（1+x）n，（1）当m=n=7时，若f（x）=a7x7+a6x6+a5x5+a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0

设m，n∈N，f（x）=（1+x）m+（1+x）n，（1）当m=n=7时，若f（x）=a7x7+a6x6+a5x5+a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0求a0+a2+a4+a6．（2）当m=n时，若f（x）展开式中x2的系数是20，求n的值．（3）f（x）展开式中x的系数是19，当m，n变化时，求x2系数的最小值．

Answer 1

（1）本题可以应用赋值法：分别令x=1，x=-1，
2⁸=a₇+a₆+a₅+a₄+a₃+a₂+a₁+a₀
0=-a₇+a₆-a₅+a₄-a₃+a₂-a₁+a₀
两个式子相加得a₀+a₂+a₄+a₆=128…（4分）
（2）∵当m=n时，f（x）展开式中x²的系数是20，
∴T₃=2C_n²x²=20x²，
∴n=5…（8分）
（3）当m+n=19，
x²的系数为：

C

2 m

+

C

2 n

＝

1

2

m(m?1)+

1

2

n(n?1)
=

1

2

[(m+n)2?2mn?(m+n)]＝171?mn＝171?(19?n)n=(n?

19

2

)2+

323

4

∴当n=10或n=9时，f（x）展开式中x²的系数最小为81．…（12分）