Question

（2014?潮南区模拟）如图，D是⊙O直径CA延长线上一点，点B在⊙O上，且AB=AD=AO．（1）求证：BD是⊙O的切

（2014?潮南区模拟）如图，D是⊙O直径CA延长线上一点，点B在⊙O上，且AB=AD=AO．（1）求证：BD是⊙O的切线．（2）若E是劣弧BC上一点，AE与BC相交于点F，△BEF的面积为9，且cos∠BFA=34，求△ACF的面积．

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Answer 1

解答：（1）证明：连接BO，
方法一：∵AB=AD
∴∠D=∠ABD
∵AB=AO
∴∠ABO=∠AOB，
又∵在△OBD中，∠D+∠DOB+∠ABO+∠ABD=180°
∴∠OBD=90°，即BD⊥BO
∴BD是⊙O的切线；
方法二：∵AB=AO，BO=AO
∴AB=AO=BO
∴△ABO为等边三角形
∴∠BAO=∠ABO=60°
∵AB=AD
∴∠D=∠ABD
又∵∠D+∠ABD=∠BAO=60°
∴∠ABD=30°，
∴∠OBD=∠ABD+∠ABO=90°，即BD⊥BO
∴BD是⊙O的切线；
方法三：∵AB=AD=AO
∴点O、B、D在以OD为直径的⊙A上
∴∠OBD=90°，即BD⊥BO
∴BD是⊙O的切线；

（2）解：∵∠C=∠E，∠CAF=∠EBF
∴△ACF∽△BEF
∵AC是⊙O的直径
∴∠ABC=90°
在Rt△BFA中，cos∠BFA=

BF

AF

=

3

4

，
∴

S△BEF

S△ACF

=（

3

4

）²=

9

16

，
又∵S_△BEF=9
∴S_△ACF=16．