Question

设总体X～U（1，θ），参数θ＞1未知，X1，…，Xn是来自X的简单随机样本．①求θ的矩估计和极大似然估计

设总体X～U（1，θ），参数θ＞1未知，X1，…，Xn是来自X的简单随机样本．①求θ的矩估计和极大似然估计量；②求上述两个估计量的数学期望．

Answer 1

总体X～U（1，θ），其分布密度为
f（x，θ）=

1 θ?1 ，  1≤x≤θ 0，  其他

．
（1）由

.

X

＝EX＝

θ+1

2

，解得θ＝2

.

X

?1，
故θ的矩估计量为：

?

θ

1＝2

.

X

?1；
似然函数为
L(θ)＝

1

(θ?1)n

，
L′(θ)＝

?n

(θ?1)n+1

＜0，L（θ）递减，
又X₁，…，X_n∈（1，θ），
故θ的极大似然估计量为

?

θ

2＝max{X1，…，Xn}．
（2）E

?

θ

1＝2E

.

X

?1＝2μ?1＝2×

θ+1

2

?1＝θ．
而

?

θ

2＝max{X1，…，Xn}的分布函数为：
F

?

θ

2(x)＝P(

?

θ

2≤x)＝P{max{X1，…，Xn}≤x}
=P{X₁≤x，…，X_n≤x}
=

n π

i＝1

P(Xi≤x)
=

0，  x＜1 ( x?1 θ?1 )n，  1≤x＜θ 1，  x≥θ

，
从而其分布密度为：
f

?

θ

2(x)＝F′

?

θ

2(x)＝

n(x?1)n?1 (θ?1)n ， 1≤x≤θ   0， 其它

，
所以，
E

?

θ

2＝

∫

θ 1

x?

n(x?1)n?1

(θ?1)n

dx＝

∫

θ 1

(x?1+1)

n(x?1)n?1

(θ?1)n

dx
=

∫

θ 1

n(x?1)n

(θ?1)n

+

∫

θ 1

n(x?1)n?1

(θ?1)n

dx
=

n n+1 (x?1)n+1 (θ?1)n |

θ 1

+

(x?1)n (θ?1)n |

θ 1

＝

n

n+1

(θ?1)+1＝

nθ+1

n+1

．

Answer 2