Question

均值不等式数学题？

已知x，y＞0且xy＝2，求x²+y²-2x-2y的最小值。
方法越多越好，大佬求解。

Answer 1

1) 配方：x²+y²-2x-2y = （x-1)² + (y-1)² - 2
约束条件：xy = 2，根据最值条件，当且仅当x = y = √2时，上面取最小值。
2（√2 - 1)^2 - 2 = 2(3-2√2) - 2 = 4 - 4√2
2) 拉格朗日法：f(x, y) = x²+y²-2x-2y + λ(xy-2)
f'x = 2x-2+λy = 0
f'y = 2y-2+λx = 0
解得：（x-1)/y = (y-1)/x
又因为， xy = 2
x^2-x = y^2-y ==> x = y = √2。从而得同样的结果。