Question

已知函数f(x)=x-1-lnx(1)求函数f(x)的最小值;(2)求证:当n∈...

已知函数f(x)=x-1-lnx (1)求函数f(x)的最小值; (2)求证:当n∈N+时，e1+12+13+…+1n＞n+1.

Answer 1

解答:解:x＞0，f′(x)=1-
1
x
=
x-1
x
(2分)
(1)
x
(0，1)
1
(1，+∞)
f(x)
-
0
…(4分)
+
f(x)
递减
极小值为0
递增
f(x)最小值为0，当x=1时取到(1分)
(2)∵f(x)≥0，当x=1时取等号
∴x-1≥lnx，令x=
n+1
n
＞0，
∴
1
n
＞ln
n+1
n
(4分)
∴1+
1
2
+
1
3
+…+
1
n
＞ln
2
1
+ln
3
2
+…+ln
n+1
n
=ln(n+1)(2分)
∴e1+
1
2
+
1
3
+…+
1
n
＞n+1(2分)