Question

已知函数f(x)=(3^x-3^-x)/(3^x+3^-x)

已知函数f(x)=(3^x-3^-x)/(3^x+3^-x) （1）求其定义域和值域 （2）判断该函数的奇偶性 （3）判断该函数的单调性，并用定义加以证明

Answer 1

设3^x=t
t>0
f(x)=(t-1/t)/(t+1/t)=1-2/(t²+1)
1】因为(t²+1)恒不等于0，所以定义域R，2/(t²+1)属于(0,2)，所以f(x)属于(-1,1)
2】f(-x)=(3^-x-3^x)/(3^-x+3^x)=-(3^x-3^-x)/(3^x+3^-x)=-f(x)
所以函数为奇函数
3】y=1-2/(t²+1)
t=3^x
t关于x在x属于R上单调递增
值域为t属于(0,正无穷)
y关于t在t属于(0,正无穷)上单调递增
所以y关于x在x属于R上单调递增