Question

已知f（x）是R上的增函数，a，b∈R．证明下面两个命题：（1）若a+b＞0，则f（a）+f（b）＞f（-a）+f（-b

已知f（x）是R上的增函数，a，b∈R．证明下面两个命题：（1）若a+b＞0，则f（a）+f（b）＞f（-a）+f（-b）；（2）若f（a）+f（b）＞f（-a）+f（-b），则a+b＞0．

Answer 1

证明：（1）证明：因为a+b＞0，所以a＞-b，b＞-a，---------------------（2分） 又因为f（x）是R上的增函数，所以f（a）＞f（-b），f（b）＞f（-a），---------------------（4分） 由不等式的性质可知f（a）+f（b）＞f（-a）+f（-b）．---------------------（5分） （2）假设a+b≤0，则a≤-b，b≤-a，---------------------（6分） 因为f（x）是R上的增函数，所以f（a）≤f（-b），f（b）≤f（-a）， 所以f（a）+f（b）≤f（-a）+f（-b），---------------------（8分） 这与已知f（a）+f（b）＞f（-a）+f（-b）矛盾， 所以假设不正确，所以原命题成立．---------------------（10分）