已知函数f（x）满足f（x+y）=f（x）f（y），（x，y∈R）且f（1）=12．（1）若n∈N*时，求f（n）的表达式
已知函数f（x）满足f（x+y）=f（x）f（y），（x，y∈R）且f（1）=12．（1）若n∈N*时，求f（n）的表达式；（2）设an=f（n），（n∈N*），求证：a...
已知函数f（x）满足f（x+y）=f（x）f（y），（x，y∈R）且f（1）=12．（1）若n∈N*时，求f（n）的表达式；（2）设an=f（n），（n∈N*），求证：a1+a2+…an＜1．（3）设bn=nf(n+1)f(n) (n∈N*)，sn=b1+b2+…+bn，求1s1+1s2+…+1sn．
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（1）∵f（x）满足f（x+y）=f（x）f（y），f(1)＝
，
∴f（n+1）=f（n）f（1），
即
＝f(1)＝
，
∴f（n）为首项为
，公比为
的等比数列，
∴f(n)＝(
)(
)n?1＝
．
（2）∵f(n)＝
，∴an＝
，a1+a2+…+an＝
＝1?
＜1．
（3）∵
＝
，∴bn＝
＝
，
∴sn＝b1+b2+…+bn＝
?
n＝
，
∴
＝
＝4(
?
)，
∴
+
| 1 |
| 2 |
∴f（n+1）=f（n）f（1），
即
| f(n+1) |
| f(n) |
| 1 |
| 2 |
∴f（n）为首项为
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
∴f(n)＝(
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2n |
（2）∵f(n)＝
| 1 |
| 2n |
| 1 |
| 2n |
| ||||
1?
|
| 1 |
| 2n |
（3）∵
| f(n+1) |
| f(n) |
| 1 |
| 2 |
| nf(n+1) |
| f(n) |
| n |
| 2 |
∴sn＝b1+b2+…+bn＝
| 1 |
| 2 |
| n+1 |
| 2 |
| 4 |
| (n+1)n |
∴
| 1 |
| sn |
| 4 |
| n(n+1) |
| 1 |
| n |
| 1 |
| n+1 |
∴
| 1 |
| s1 |
| 1 |
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