Question

过圆内一点的最短弦为什么垂直于这个点所在的直径，怎么证明

过圆内一点的最短弦为什么垂直于这个点所在的直径，怎么证明？

Answer 1

解：如图：在圆O内有一点P，AB为直径，过P点作AB的垂线交圆周与点C、D，垂足为P，
求证：为什么CD是经过点P最短的弦．
证明：如图所示：过点P任意作弦EF，过O作OQ⊥EF于点Q．连接OD、OE．
设圆O的半径为R．
根据勾股定理，EQ²=R²-OQ²，PD²=R²-OP²
因为OQ＜OP
所以OQ²＜OP²
所以EQ²＞PD²
所以EQ＞PD
因为EF=2EQ，CD=2PD
所以EF＞CD
即CD是经过点P最短的弦．