Question

（2014?武汉模拟）如图，在底面是菱形的四棱锥P-ABCD中，∠ABC=60°，PA=AC=1，PB=PD=2，点E在PD上，且PE

（2014?武汉模拟）如图，在底面是菱形的四棱锥P-ABCD中，∠ABC=60°，PA=AC=1，PB=PD=2，点E在PD上，且PE=2ED．（Ⅰ）求二面角P-AC-E的大小；（Ⅱ）试在棱PC上确定一点F，使得BF∥平面AEC．

Answer 1

（Ⅰ）∵底面ABCD是菱形，∠ABC=60°，
∴AB=AD=AC=1，
在△PAB中，由PA²+AB²=2=PB²，知PA⊥AB，
同理PA⊥AD
∴PA⊥平面ABCD．
建立坐标系，则A（0，0，0），B（

3

2

，-

1

2

，0），C（

3

2

，

1

2

，0），P（0，0，1），D（0，1，0），E（0，

2

3

，

1

3

），
∴

AC

=（

3

2

，

1

2

，0），

AE

=（0，

2

3

，

1

3

），
设平面ACE的一个法向量为

n

=（x，y，z），则

3 2 x+ 1 2 y＝0 2 3 y+ 1 3 z＝0

，
可取

n

=（1，-

3

，2

3

），
同理平面ACP的一个法向量为

m

=（

3

2

，-

3

2

，0），
∴cos＜

n

，

m

＞=

1

2

，
∴二面角P-AC-E的大小为60°；
（Ⅱ）存在点F为PC的中点，使BF∥平面AEC．
理由如下：
取棱PC的中点F，线段PE的中点M，连接BD．设BD∩AC=O．
连接BF，MF，BM，OE．
∵PE：ED=2：1，F为PC的中点，E是MD的中点，
∴MF∥EC，BM∥OE．
∵MF?平面AEC，CE?平面AEC，BM?平面AEC，OE?平面AEC，
∴MF∥平面AEC，BM∥平面AEC．
∵MF∩BM=M，
∴平面BMF∥平面AEC．
又BF?平面BMF，
∴BF∥平面AEC．

Answer 2

(1)设BD与AC交于O,连PO.
菱形ABCD中，∠ABC=60°，AC=1,
∴AB=1,BO=OD=√3/2，
PB=PD=2，
∴PO⊥BD,PO=√(4-3/4)=√13/2>PA+AO=1.5，题目有误。