Question

数学空间解析几何问题

直线L0:(x-2)/4=(y-1)/2=Z/-1 绕Y轴旋转一圈所成的曲面方程，求详细解答。

Answer 1

设
(x-2)/4=(y-1)/2=z/(-1)=t，则直线的参数方程可以写为
x=4t+2，y=2t+1，z=-t
(1)
因为直线绕y轴旋转，所以旋转后曲面的参数方程可以写为
x=根号[(4t+2)^2+(-t)^2]*cosu，y=2t+1，z=根号[(4t+2)^2+(-t)^2]*sinu
(2)
这里u是参数。
于是对(2)式有
x^2+z^2=(4t+2)^2+(-t)^2=17t^2+16t+4
(3)
再将
t=(y-1)/2
代入
(3)
即得
x^2+z^2=17(y-1)^2/4
+
8(y-1)
+
4.
或者写成
4(x^2+z^2)=17(y-1)^2+32(y-1)+16.
经过简单的验证可知这是一个单叶双曲面。