Question

设为实数,函数.当时,判断函数在的单调性并用定义证明;求的最小值.

设为实数,函数. 当时,判断函数在的单调性并用定义证明; 求的最小值.

Answer 1

当,时,,用函数的单调性的定义证明它是增函数.
当时,根据的解析式,分和两种情况,求出的最小值.当时,根据的解析式,分和两种情况,求出的最小值,
综合可得结论.
解:当,时,,(分)
则函数在上单调递增.
证明:设,由于,(分)
,,,,从而得,
,故函数在上单调递增.(分)
当时,,(分)
故.(分)
当时,,(分)
.(分)
综上,.(分)
本题主要考查带有绝对值的函数,函数的单调性的定义和证明,求函数的最小值,体现了分类讨论的数学思想,属于中档题.