Question

数列{an}的各项均为正数，Sn为其前n项和，对于任意n∈N*，总有an、Sn、（an）2成等差数列．（I）求数列{a

数列{an}的各项均为正数，Sn为其前n项和，对于任意n∈N*，总有an、Sn、（an）2成等差数列．（I）求数列{an}的通项公式；（II）设bn＝an(12)n，数列{bn}的前n项和是Tn，求证：12≤Tn＜2．

Answer 1

（I）由已知2S_n=a_n+a_n²∴2Sn?1＝an?1+an?1 2，得2a_n=a_n+a_n²-a_n-1-a_n-1²
∴a_n+a_n-1=（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1），
∵a_n，a_n-1均为正数，∴a_n-a_n-1=1（n≥2）∴数列{a_n}是公差为1的等差数列
又n=1时，2S₁=a₁+a₁²，解得a₁=1∴a_n=n．（n∈N^*）
（II）∵bn＝an(

1

2

)n，由（I）知，bn＝n(

1

2

)nTn＝

1

2

+2(

1

2

)2+3(

1

2

)3+4(

1

2

)4++n(

1

2

)n

1

2

Tn＝(

1

2

)2+2(

1

2

)3+3(

1

2

)4+(n?1)(

1

2

)n+n(

1

2

)n+1
∴

1

2

Tn＝

1

2

+(

1

2

)2+(

1

2

)3+(

1

2

)4++(

1

2

)n?n(

1

2

)n+1
∴Tn＝1+

1

2

+(

1

2

)2+(

1

2

)3++(