Question

已知函数f（x）=x2+（a+1）x+a2，若f（x）能表示成一个奇函数g（x）和一个偶函数h（x）的和．（1）求g（x

已知函数f（x）=x2+（a+1）x+a2，若f（x）能表示成一个奇函数g（x）和一个偶函数h（x）的和．（1）求g（x）和h（x）的解析式；（2）若f（x）和g（x）在区间（-∞，（a+1）2） 上都是减函数，求f（1）的取值范围．

Answer 1

（1）设f（x）=g（x）+h（x），∵g（x）是奇函数，h（x）是偶函数．
∴f（-x）=g（-x）+h（-x）=-g（x）+h（x），
∴h(x)＝

f(x)+f(?x)

2

=x²+a²，
g（x）=

f(x)?f(?x)

2

=（a+1）x．
（2）∵f（x）和g（x）在区间（-∞，（a+1）²） 上都是减函数，
∴(a+1)2≤?

a+1

2

，a+1＜0，
解得?

3

2

≤a＜?1．
f（1）=a²+a+2
=(a+

1

2

)2+

7

4

．
∵f（1）在[?

3

2

，?1)上单调递减，
∴f(?1)＜f(1)≤f(?

3

2

)，
∴2＜f（1）≤

11

4

．