Question

设摆线的参数方程为x＝a(t?sint)y＝a(1?cost)其中0≤t≤2π，常数a＞0．设该摆线在0≤t≤2π部分的弧长等

设摆线的参数方程为x＝a(t?sint)y＝a(1?cost)其中0≤t≤2π，常数a＞0．设该摆线在0≤t≤2π部分的弧长等于该弧段绕x轴旋转一周所得旋转曲面面积的数值，试求常数a．

Answer 1

由弧长的计算公式可得，弧长微分
ds＝

[x′(t)]2+[y′(t)]2

dt
=

(a(1?cost))2+(asint)2

dt
=

2a2(1?cost)

dt
=

4a2sin2 t 2

dt
=2a|sin

t

2

|dt，
故该摆线在0≤t≤2π部分的弧长为
L=

∫

2π 0

ds 
=

∫

2π 0

2a|sin

t

2

|dt
=

∫

2π 0

2asin

t

2

dt
=?4acos

t

2

|

2π 0

=8a．
该弧段绕x轴旋转一周所得旋转曲面面积为：
S=

∫

2π 0

y

(x′(t))2+(y′(t))2

dt
=2π

∫

2π 0

a(1?cost)2a|sin

t

2

|dt
=8πa2

∫

2π 0

(1?cos2

t

2

)sin

t

2

dt
=?16πa2(cos

t

2

?

1

3

cos3

t

2

)

|

2π 0

=

64π

3

a2．
由题意，L=S，即：
8a＝

64π

3

a2，
求解即得：a＝

3

8π

．