Question

求一道有关导数的数学题的答案

如果y=f(x)并且这是连续方程，并满足方程x^4-5x^2y^2+4y^4=0。 此函数经过点（-2，-2）（2,1），有条直线与f(x)相切于x=2， 求那些在函数f(x)上单不在且线上的交点

如题，求解答

Answer 1

由于：x^4-5x^2y^2+4y^4=(x^2-y^2)(x^2-4y^2)=0
所以：原方程是四条直线
1、y=x
2、y=-x
3、y=x/2
4、y=-x/2
直线与f(x)相切于x=2的方程是y=x/2，与原函数重合。所以不存在“在函数f(x)上，但不在切线上的交点”。
关于导数问题
原方程对x求导数得到：
4x^3-10xy^2-10x^2yy‘+16y^3y’=0
整理得：
y‘=(2x^3-5xy^2)/(5x^2y-8y^3)
关于切线方程：
由于在x=2、y=1处的导数是：y’=1/2
则相应的切线方程是：(y-1)/(x-2)=1/2
整理得：y=x/2（即与原方程重合）

追问

所以说，同理，也不存在“在那条切线上，但不在原函数上的交点了？”

追答

是的。