Question

如图，△ABC是边长为4cm的等边三角形，AD为BC边上的高，点P沿BC向终点C运动，速度为1cm/s，点Q沿CA、AB向

如图，△ABC是边长为4cm的等边三角形，AD为BC边上的高，点P沿BC向终点C运动，速度为1cm/s，点Q沿CA、AB向终点B运动，速度为2cm/s，若点P、Q两点同时出发，设它们的运动时间为x（s）．（l）求x为何值时，PQ⊥AC；x为何值时，PQ⊥AB？（2）当O＜x＜2时，AD是否能平分△PQD的面积？若能，说出理由；（3）探索以PQ为直径的圆与AC的位置关系，请写出相应位置关系的x的取值范围（不要求写出过程）．

Answer 1

解：（1）当Q在AB上时，显然PQ不垂直于AC，
当Q在AC上时，由题意得，BP=x，CQ=2x，PC=4-x；
∵AB=BC=CA=4，
∴∠C=60°；
若PQ⊥AC，则有∠QPC=30°，
∴PC=2CQ，
∴4-x=2×2x，
∴x=

4

5

；
当x=

4

5

（Q在AC上）时，PQ⊥AC；
如图：①
当PQ⊥AB时，BP=x，BQ=

1

2

x，AC+AQ=2x；
∵AC=4，
∴AQ=2x-4，
∴2x-4+

1

2

x=4，
∴x=

16

5

，
故x=

16

5

时PQ⊥AB；

（2）过点QN⊥BC于点N，
当0＜x＜2时，在Rt△QNC中，QC=2x，∠C=60°；
∴NC=x，
∴BP=NC，
∵BD=CD，
∴DP=DN；
∵AD⊥BC，QN⊥BC，
∴DP=DN；
∵AD⊥BC，QN⊥BC，
∴AD∥QN，
∴OP=OQ，
∴S_△PDO=S_△DQO，
∴AD平分△PQD的面积；

（3）显然，不存在x的值，使得以PQ为直径的圆与AC相离，
当x=

4

5

或

16

5

时，以PQ为直径的圆与AC相切，
当0≤x＜

4

5

或

4

5

＜x＜

16

5

或

16

5

＜x≤4时，以PQ为直径的圆与AC相交．