Question

已知三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥AC，PA=AC= 1 2 AB=1，N为AB上一点，AB=4AN，M、S分别

已知三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥AC，PA=AC= 1 2 AB=1，N为AB上一点，AB=4AN，M、S分别为PB、BC的中点．（Ⅰ）求证：CM⊥SN；（Ⅱ）求二面角P-CB-A的余弦值；（Ⅲ）求直线SN与平面CMN所成角的大小．

Answer 1

（Ⅰ）证明：以A为原点，射线AB，AC，AP分别为x，y，z轴正向建立空间直角坐标系如图． 则P（0，0，1），C（0，1，0），B（2，0，0）， M（1，0， 1 2 ），N（ 1 2 ，0，0），S（1， 1 2 ，0）， CM =(1，-1， 1 2 )， SN =(- 1 2 ，- 1 2 ，0) ， ∵ CM ? SN =(1，-1， 1 2 )?(- 1 2 ，- 1 2 ，0)=0 ， ∴CM⊥SN． （Ⅱ）设 m =(0，0，1) 为平面CBA的法向量， CB =(2，-1，0)， PC =(0，1，-1) ， 设 n =(x，y，z) 为平面PCB的一个法向量 则 2x-y=0 y-x=0 令x=1得 n =(1，2，2，) ， cos?＜ m ， n ＞= m ? n |m| |n| = 2 3 ， 二面角P-CB-A的余弦值为 2 3 ． （Ⅲ）同理可得平面CMN的一个法向量 a =(2，1，-2) 设直线SN与平面CMN所成角为θ， ∵ sinθ=|cos＜ SN ， a ＞|= 2 2 ， ∴SN与平面CMN所成角为45°．