Question

关于高中数学函数周期性。

（1）（2）中的周期，是怎么推导出来的？

Answer 1

1、y＝f（x）有两个对称轴x＝a，x＝b。因为x＝a是对称轴，所以 f (a +x) = f (a－x)，设z＝a＋x，的x＝z－a，代入上式得f（z）＝f（2a－z），将z换成x，所以f（x）＝f（2a－x）。同理有f（x）＝f（2b－x）。所以得f（2a－x）＝f（2b－x），设w＝2a－x，，x＝2a－w，代入上式得f（w）＝f（w＋（2b－2a）），将w换成x得f（x）＝f（x＋（2b－2a））。根据周期函数的定义，可知y＝f（x）是周期函数，周期是（2b－2a）的绝对值（因为周期不能是负数）。

2、y＝f（x）有一个对称中心（a，0），可得f (x) + f (2a－x) = 0，因此f（x）＝－f（2a－x) ，同理对于对称中心（b，0）也可得f（x）＝－f（2b－x) 。所以－f（2a－x) ＝－f（2b－x)，f（2a－x) ＝f（2b－x)。后面就同上题一样可以证明出来了。

Answer 2

(1)使用换元法
①f(a-x)=f(a+x)
设t=a-x,代入上式，
f(t)=f(2a-t)既是
f(x)=f(2a-x) / 这一结论可以直接写出来 /
同理
f(x)=f(2b-x)
f(2a-x) =f(2b-x)可以推出 f(x)=f(2b-2a+x) ,得证。
②③同理
（2）f(x+a)=-f(x)=f(x-a)=-f(x-2a)
所以f(x)=f(x-2a),得证。
其它同理。

Answer 3

现在阶段，你只用记住它并能熟练应用就行了。