如图,点C在以AB为直径的半圆上,AB=8,∠CBA=30°,点D在线段AB上从点A运动到点B,点E与点D关于AC对称,
如图,点C在以AB为直径的半圆上,AB=8,∠CBA=30°,点D在线段AB上从点A运动到点B,点E与点D关于AC对称,DF⊥DE于点D,并交EC的延长线于点F(1)求证...
如图,点C在以AB为直径的半圆上,AB=8,∠CBA=30°,点D在线段AB上从点A运动到点B,点E与点D关于AC对称,DF⊥DE于点D,并交EC的延长线于点F(1)求证:CE=CF;(2)求线段EF的最小值;(3)当点D从点A运动到点B时,试求线段EF扫过的面积(直接写出结果).
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解答:(1)证明:如图1,设AC于点DE交于点G,则EG=DG,且ED⊥AC,
∵DF⊥DE,
∴∠EGC=∠EDF=90°,
∴AC∥DF,且G为ED中点,
∴EC=FC;
(2)解:由(1)知,EF=2CD,
∴当线段EF最小时,线段CD也最小,
根据垂直线段最短的性质,当CD⊥AD时线段CD最小,
∵AB是半圆O 的直径,
∴∠ACB=90°,
∵AB=8,∠CBA=30°,
∴AC=4,BC=4
,
当CD⊥AD时,CD=
BC=2
,
此时EF=2CD=4
,
即EF的最小值为4
;
(3)解:当点D从点A运动到点B时,如图2,EF扫过的图形就是图中的阴影部分,线段EF扫过的面积是△ABC面积的2倍,
由(2)知AC=4,BC=4
,
∴S△ABC=
?AC?BC=
×4×4
=8
,
∴线段EF扫过的面积是16
.
∵DF⊥DE,
∴∠EGC=∠EDF=90°,
∴AC∥DF,且G为ED中点,
∴EC=FC;
(2)解:由(1)知,EF=2CD,
∴当线段EF最小时,线段CD也最小,
根据垂直线段最短的性质,当CD⊥AD时线段CD最小,
∵AB是半圆O 的直径,
∴∠ACB=90°,
∵AB=8,∠CBA=30°,
∴AC=4,BC=4
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当CD⊥AD时,CD=
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此时EF=2CD=4
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即EF的最小值为4
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(3)解:当点D从点A运动到点B时,如图2,EF扫过的图形就是图中的阴影部分,线段EF扫过的面积是△ABC面积的2倍,
由(2)知AC=4,BC=4
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∴S△ABC=
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∴线段EF扫过的面积是16
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