Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，且AD∥BC，∠ABC=∠PAD=90°，侧面PAD⊥底面ABCD，若PA=AB

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，且AD∥BC，∠ABC=∠PAD=90°，侧面PAD⊥底面ABCD，若PA=AB=BC=12，AD=1．（I）求证：CD⊥平面PAC（II）侧棱PA上是否存在点E，使得BE∥平面PCD？若存在，指出点E的位置，并证明，若不存在，请说明理由．

Answer 1

（I）∵∠PAD=90°，∴PA⊥AD．
又∵侧面PAD⊥底面ABCD，PA?侧面PAD，
且侧面PAD∩底面ABCD=AD，∴PA⊥底面ABCD．
∵CD?底面ABCD，∴PA⊥CD．
∵在底面ABCD中，∠ABC=∠BAD=90°，PA=AB=BC=

1

2

，AD=1．
∴AC=

AB2+BC2

=

2

2

，∠CAB=∠CAD=45°
△CAD中由余弦定理，得
CD=

AC2+CD2?2?AC?CDcos45°

=

2

2

可得CD²+AC²=1=AD²，得AC⊥CD．
又∵PA、AC是平面PAC内的相交直线，∴CD⊥平面PAC．
（II）在PA上存在中点E，使得BE∥平面PCD，
证明如下：设PD的中点为F，连结BE、EF、FC，则
∵EF是△PAD的中位线，∴EF∥AD，且EF=

1

2

AD．
∵BC∥AD，BC=

1

2

AD，∴BC∥EF，且BC=EF，
∴四边形BEFC为平行四边形，∴BE∥CF．
∵BE?平面PCD，CF?平面PCD，∴BE∥平面PCD．