Question

如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠DCB=45°，CD=2，BD⊥CD．

如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠DCB=45°，CD=2，BD⊥CD．过点C作CE⊥AB于E，交对角线BD于F，点G为BC中点，连接EG、AF．
（1）求EG的长；
（2）求证：CF=AB+AF．

Answer 1

如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠DCB=45°，CD=2，BD⊥CD．过点C作CE⊥AB于E，交对角线BD于F，点G为BC中点，连接EG、AF．
（1）求EG的长；
（2）求证：CF=AB+AF．

(1)解析：∵在△DBC中，BD⊥CD，∠DCB=45°，DC=2
∴∠DBC=45°，BD=CD=2，BC=√(DB^2+CD^2)= 2√2，
∵CE⊥BE，点G为BC的中点，
∴EG=1/2BC=√2．
(2)证明：在线段CF上截取CH=BA，连接DH，
∵BD⊥CD，BE⊥CE，∴∠EBF+∠EFB=90°，
∠DFC+∠DCF=90°，∵∠EFB=∠DFC，∴∠EBF=∠DCF，
∵DB=CD，BA=CH，∴△ABD≌△HCD，
∴AD=DH，∠ADB=∠HDC，∵AD∥BC，
∴∠ADB=∠DBC=45°，∴∠HDC=45°，∠HDB=∠BDC-∠HDC=45°，
∴∠ADB=∠HDB，∵AD=HD，DF=DF，
∴△ADF≌△HDF，
∴AF=HF，∴CF=CH+HF=AB+AF，
∴CF=AB+AF．

Answer 2

郭敦顒回答：
（1）∵梯形ABCD中，AD∥BC，∠DCB=45°，CD=2，BD⊥CD．过点C作CE⊥AB于E，交对角线BD于F，点G为BC中点，连接EG、AF．GD
∴B、C、D、E四点共圆，G为圆心，R为半径，
∴GB=GE=GD=GC=R，

A D

E
F

B C
G
∴∠GBD=∠GDC=∠DCB=45°，DG⊥BC，GC²=2²/2
∴GC=√2
∴EG=√2
（2）求证：CF=AB+AF．证明后再行回答。

Answer 3

（1）解：∵BD⊥CD，∠DCB=45°，
∴∠DBC=45°=∠DCB，∴BD=CD=2，在Rt△BDC中BC= DB2+CD2 =2 2 ，
∵CE⊥BE，点G为BC的中点，
∴EG=1 2 BC= 2 ．
答：EG的长是 2 ．
（2）证明：在线段CF上截取CH=BA，连接DH，
∵BD⊥CD，BE⊥CE，
∴∠EBF+∠EFB=90°，∠DFC+∠DCF=90°，
∵∠EFB=∠DFC，
∴∠EBF=∠DCF，
∵DB=CD，BA=CH，
∴△ABD≌△HCD，
∴AD=DH，∠ADB=∠HDC，
∵AD∥BC，
∴∠ADB=∠DBC=45°，
∴∠HDC=45°，∴∠HDB=∠BDC-∠HDC=45°，
∴∠ADB=∠HDB，
∵AD=HD，DF=DF，
∴△ADF≌△HDF，
∴AF=HF，
∴CF=CH+HF=AB+AF，
∴CF=AB+AF．
（解法二）证明：延长BA与CD延长线交于M，
∵△BFE和△CFD中，
∠BEF=∠CDF=90°，∠BFE=∠CFD，
∴∠MBD=∠FCD，
∵△BCD中∠DCB=45°，BD⊥CD，
∴BD=CD，
△BMD和△CFD中，
∵BD=CD，∠BDM=∠CDF=90°，∠MBD=∠FCD，
∴△BMD≌△CFD，
∴CF=BM=AB+AM，DM=DF，
∵AD∥BC，∠ADF=∠DBC=45°∠BDM=90°，
∴∠ADM=∠ADF=45°，
∴△AFD≌△AMD，
∴AM=AF，
∴CF=BM=AB+AM=AB+AF，即CF=AB+AF．

Answer 4

（1）点G为BC中点,易知EG是RT△BEC斜边BC中线,DG是RT△BDC斜边BC中线
EG=DG
DG=1/2BC=1/2*2√2=
EG=DG=√2
（2）证明:连接DG,DG交CE于M,连接BM,易知RT△BDC是等腰直角三角形
G为BC中点,所以DG 是BC垂直平分线,三线合一,∠BDG=45°
BM=MC,∠DBM=∠DCM
在RT△EBF和RT△DCF中,∠EFB=∠DFC(对顶角)
∠EBF=∠DCM,∠DBM=∠DCM
∠EBF=∠DBM又因∠ADB=∠BDG=45°,DB=BD
△ABD≌△DBG(ASA)
AB=BM,AD=DM
又 AD=DM,∠ADB=∠BDG=45°,DF=FD
△ADF≌△DFM(SAS)
AF=MF
CF=MC+MF,MC=BM=ABAF=MF
CF=AB+AF．

Answer 5

（1）解：∵BD⊥CD，∠DCB=45°，
∴∠DBC=45°=∠DCB，∴BD=CD=2，在Rt△BDC中BC=
DB的平方+CD的平方=2倍根号2，
∵CE⊥BE，
∠BEC=90°，
∵点G为BC的中点，
∴EG= 1/2BC=根号2
（直角三角形斜边上中线的性质）．
答：EG的长是根号2。
（2）证明：在线段CF上截取CH=BA，连接DH，
∵BD⊥CD，BE⊥CE，
∴∠EBF+∠EFB=90°，∠DFC+∠DCF=90°，
∵∠EFB=∠DFC，
∴∠EBF=∠DCF，
∵DB=CD，BA=CH，
∴△ABD≌△HCD，
∴AD=DH，∠ADB=∠HDC，
∵AD∥BC，
∴∠ADB=∠DBC=45°，
∴∠HDC=45°，∴∠HDB=∠BDC-∠HDC=45°，
∴∠ADB=∠HDB，
∵AD=HD，DF=DF，
∴△ADF≌△HDF，
∴AF=HF，
∴CF=CH+HF=AB+AF，
∴CF=AB+AF．
（解法二）证明：延长BA与CD延长线交于M，
∵△BFE和△CFD中，
∠BEF=∠CDF=90°，∠BFE=∠CFD，
∴∠MBD=∠FCD，
∵△BCD中∠DCB=45°，BD⊥CD，
∴BD=CD，
△BMD和△CFD中，
∵BD=CD，∠BDM=∠CDF=90°，∠MBD=∠FCD，
∴△BMD≌△CFD，
∴CF=BM=AB+AM，DM=DF，
∵AD∥BC，∠ADF=∠DBC=45°∠BDM=90°，
∴∠ADM=∠ADF=45°，
在△AFD和△AMD中
∵ DM=DF；∠ADM=∠ADF；AD=AD，
∴△AFD≌△AMD，
∴AM=AF，
∴CF=BM=AB+AM=AB+AF，即CF=AB+AF

如果觉得有帮助的话，请采纳哦~

Answer 6

1）解：∵BD⊥CD，∠DCB=45°，∴∠DBC=45°=∠DCB，∴BD=CD=2，在Rt△BDC中BC= DB2+CD2 =2 2 ，∵CE⊥BE，点G为BC的中点，∴EG=1 2 BC= 2 ．答：EG的长是 2 ．（2）证明：在线段CF上截取CH=BA，连接DH，∵BD⊥CD，BE⊥CE，∴∠EBF+∠EFB=90°，∠DFC+∠DCF=90°，∵∠EFB=∠DFC，∴∠EBF=∠DCF，∵DB=CD，BA=CH，∴△ABD≌△HCD，∴AD=DH，∠ADB=∠HDC，∵AD∥BC，∴∠ADB=∠DBC=45°，∴∠HDC=45°，∴∠HDB=∠BDC-∠HDC=45°，∴∠ADB=∠HDB，∵AD=HD，DF=DF，∴△ADF≌△HDF，∴AF=HF，∴CF=CH+HF=AB+AF，∴CF=AB+AF．（解法二）证明：延长BA与CD延长线交于M，∵△BFE和△CFD中，∠BEF=∠CDF=90°，∠BFE=∠CFD，∴∠MBD=∠FCD，∵△BCD中∠DCB=45°，BD⊥CD，∴BD=CD，△BMD和△CFD中，∵BD=CD，∠BDM=∠CDF=90°，∠MBD=∠FCD，∴△BMD≌△CFD，∴CF=BM=AB+AM，DM=DF，∵AD∥BC，∠ADF=∠DBC=45°∠BDM=90°，∴∠ADM=∠ADF=45°，∴△AFD≌△AMD，∴AM=AF，∴CF=BM=AB+AM=AB+AF，即CF=AB+AF．