Question

如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠DCB=45°，CD=2，BD⊥CD．

如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠DCB=45°，CD=2，BD⊥CD．过点C作CE⊥AB于E，交对角线BD于F，点G为BC中点，连接EG、AF．
（1）求EG的长；
（2）求证：CF=AB+AF．

Answer 1

（1）解：∵BD⊥CD，∠DCB=45°， ∴∠DBC=45°=∠DCB，∴BD=CD=2，在Rt△BDC中BC= DB2+CD2 =2 2 ， ∵CE⊥BE，点G为BC的中点， ∴EG=1 2 BC= 2 ． 答：EG的长是 2 ． （2）证明：在线段CF上截取CH=BA，连接DH， ∵BD⊥CD，BE⊥CE， ∴∠EBF+∠EFB=90°，∠DFC+∠DCF=90°， ∵∠EFB=∠DFC， ∴∠EBF=∠DCF， ∵DB=CD，BA=CH， ∴△ABD≌△HCD， ∴AD=DH，∠ADB=∠HDC， ∵AD∥BC， ∴∠ADB=∠DBC=45°， ∴∠HDC=45°，∴∠HDB=∠BDC-∠HDC=45°， ∴∠ADB=∠HDB， ∵AD=HD，DF=DF， ∴△ADF≌△HDF， ∴AF=HF， ∴CF=CH+HF=AB+AF， ∴CF=AB+AF． （解法二）证明：延长BA与CD延长线交于M， ∵△BFE和△CFD中， ∠BEF=∠CDF=90°，∠BFE=∠CFD， ∴∠MBD=∠FCD， ∵△BCD中∠DCB=45°，BD⊥CD， ∴BD=CD， △BMD和△CFD中， ∵BD=CD，∠BDM=∠CDF=90°，∠MBD=∠FCD， ∴△BMD≌△CFD， ∴CF=BM=AB+AM，DM=DF， ∵AD∥BC，∠ADF=∠DBC=45°∠BDM=90°， ∴∠ADM=∠ADF=45°， ∴△AFD≌△AMD， ∴AM=AF， ∴CF=BM=AB+AM=AB+AF，即CF=AB+AF．

Answer 2

因为过点C作CE⊥AB于E，点G为BC中点所以三角形BCE为直角三角形，EG=1/2BC=根号2