Question

高等数学中解微分方程时，±e^c为什么可以用C代换?

代换之后，明显改变了函数啊，原来等号另一侧双值就变成了单值，函数少了一支啊

Answer 1

微分方程的通解本来就是一个“曲线族”，每条曲线之间只相差一个常量，这个常量你可以任意
选取；±e^c和C都是任意常数，你可以取e^c=C，也可以取-e^c=C，也可以取e^c≠C；不论你怎么
取，它们都是原方程的解。如果初始条件已给定，那这个常数就不能随意定了，必须按初始条件
来确定，只不过这时的解就不再是“通解”，而是“特解”啦！

追问

好，就算对等号左边的y来说，去它的一支。那么有时解微分方程时，如ln|y|=ln|x+c1
这时，为什么，x也可以去一支呢？书上说那方程等价于：y=Cx

追答

不是什么“去一支”，而是把解函数的图像沿y轴平行移动而已！

Answer 2

所有的原函数之间隔一个常数，正负e的C次方也是一个任意的常数（e^c是个正数。所以加上正负号就能取到所以实数，极限可以取到0），所以可以用任意常数C替换，函数确实是改变的，但是函数的微分都是一样的，不会改变微分方程的解

Answer 3

因为C就是一个常数，可以有正负号的，C里面包括了±e^c

追问

那么从另外一个角度想着问题：
大C取定之后，每一个X只对应一个y。而小c确定后，每一个x对应两个y。这样变换之后方程不是表示同一个方程了
最后，非常感谢你的回答！

追答

这不是方程，这是一个数，你解到最后的式子可能是x=***+e^c 这才是方程 而±e^c 只是构成这个方程的一个因素，大C的取定是由小c决定的

Answer 4

±e^c 是常数，不是 变量，应该用C代换

Answer 5

因为e^c也是一个常数

追问

首先非常感谢你
你看哦，原来的正负表示的是等号左边的y可以取正或者负，或者说图像是关于X轴对称的，而代换之后，就不一定会对称了。。。