Question

如图，在梯形ABCD中，AD//BC，AB＝DC，过点D作DE⊥BC，垂足为E，并延长DE至F，使EF＝DE．连接BF、AC．

如图，在梯形ABCD中，AD//BC，AB＝DC，过点D作DE⊥BC，垂足为E，并延长DE至F，使EF＝DE．连接BF、AC． （1）求证：四边形ABFC是平行四边形；（2）如果DE 2 ＝BE·CE，求证四边形ABFC是矩形．

Answer 1

(1)证明见解析；（2）证明见解析.

试题分析：（1）连接BD，利用等腰梯形的性质得到AC=BD，再根据垂直平分线的性质得到DB=FB，从而得到AC=BF，然后证得AC∥BF，利用一组对边平行且相等判定平行四边形； （2）利用题目提供的等积式和两直角相等可以证得两直角三角形相似，得到对应角相等，从而得到直角来证明有一个角是直角的平行四边形是矩形． 试题解析:（1）连接BD ∵梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD ∴AC=BD ∵DE⊥BC，EF=DE ∴BD=BF，CD=CF ∴AC=BF，AB=CF ∴四边形ABCF是平行四边形； （2）∵DE 2 =BE?CE ∴ ， ∵∠DEB=∠DEC=90°， ∴△BDE∽△DEC， ∴∠CDE=∠DBE， ∴∠BFC=∠BDC=∠BDE+∠CDE=∠BDE+∠DBE=90°， ∴四边形ABFC是矩形． 考点: 1.等腰梯形的性质；2.全等三角形的判定与性质；3.平行四边形的判定与性质；4.相似三角形的判定与性质．