Question

已知函数 f(x)=2k x 2 +kx- 3 8 ．（1）若f（x）有零点，求k的取值范围；（2）若f（x）＜0

已知函数 f(x)=2k x 2 +kx- 3 8 ．（1）若f（x）有零点，求k的取值范围；（2）若f（x）＜0对一切x∈R都成立，求k的取值范围．

Answer 1

（1）k=0时，f（x）=- 3 8 ，无零点， ∴k≠0，f（x）=2kx 2 +kx- 3 8 为二次函数． ∵f（x）=2kx 2 +kx- 3 8 有零点， ∴二次方程2kx 2 +kx- 3 8 =0有实数根， ∴△=k 2 -4×2k×（- 3 8 ）=k 2 +3k≥0，又k≠0， 解得：k＞0或k≤-3． 即k的取值范围为（-∞，-3]∪（0，+∞）． （2）当k=0时，f（x）=- 3 8 ＜0对一切x∈R都成立，故k=0时符合题意； 当k≠0，f（x）=2kx 2 +kx- 3 8 为二次函数， 要使f（x）＜0对一切x∈R都成立， 必须满足 2k＜0 △= k 2 +3k＜0 ， 解得：-3＜k＜0； 综上所述，f（x）＜0对一切x∈R都成立时k的取值范围为（-3，0]．