Question

已知椭圆C过点 是椭圆的左焦点，P、Q是椭圆C上的两个动点，且|PF|、|MF|、|QF|成等差数列。（1）求椭圆C

已知椭圆C过点 是椭圆的左焦点，P、Q是椭圆C上的两个动点，且|PF|、|MF|、|QF|成等差数列。（1）求椭圆C的标准方程；（2）求证：线段PQ的垂直平分线经过一个定点A；（3）设点A关于原点O的对称点是B，求|PB|的最小值及相应点P的坐标。

Answer 1

（1） （2） （3）

（1）设椭圆 的方程为 ，由已知，得 ，解得 所以椭圆的标准方程为   …………3分 （2）证明：设 。由椭圆的标准方程为 ，可知 同理 ………4分 ∵ ，∴ ∴ …………5分 ①当 时，由 ，得 从而有 设线段 的中点为 ，由          …………6分 得线段 的中垂线方程为 …………7分 ∴ ，该直线恒过一定点 …………8分 ②当 时， 或 线段 的中垂线是 轴，也过点 ， ∴线段 的中垂线过点 …………10分 （3）由 ，得 。 又 ，∴ …………12分 ∴ 时，点 的坐标为 …………14分