Question

已知数列{an}满足：a1=1，2an+1=2an+1，n∈N+．数列{bn}的前n项和为Sn，Sn=9-(13)n?2，n∈N+．（Ⅰ）求数

已知数列{an}满足：a1=1，2an+1=2an+1，n∈N+．数列{bn}的前n项和为Sn，Sn=9-(13)n?2，n∈N+．（Ⅰ）求数列{an}，{bn}的通项公式；（Ⅱ）设cn=an?bn，n∈N+．求数列{cn}的前n项和Tn．

Answer 1

（Ⅰ）由2a_n+1=2a_n+1得a_n+1-a_n=

1

2

，
又a₁=1，所以数列{a_n}是以1为首项，

1

2

为公差的等差数列，
于是a_n=a₁+（n-1）d=

n+1

2

，
当n=1时，b₁=S₁=9-(

1

3

)1?2=9-3=6，
当n≥2时，S_n-1=9?(

1

3

)n?3，
则b_n=S_n-S_n-1=9-(

1

3

)n?2-[9?(

1

3

)n?3]=

2

3n?2

，
又n=1时，

2

3n?2

=6=b₁，
所以b_n=

2

3n?2

．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知a_n=

n+1

2

，b_n=

2

3n?2

，
所以c_n=a_n?b_n=（n+1）(

1

3

)n?2，
所以T_n=2×（

1

3

）^-1+3×（

1

3

）⁰+4×（

1

3

）¹+…+（n+1）×（

1

3

）^n-2 …（1）
等式两边同乘以

1

3

得

1

3

T_n=2×（

1

3

）⁰+3×（

1

3

）¹+4×（

1

3

）²+…+（n+1）×（

1

3

）^n-1…（2）
（1）-（2）得

2

3

T_n=2×（

1

3

）^-1+（

1

3

）⁰+（

1

3

）¹+…+×（

1

3

）^n-2-（n+1）×（

1

3

）^n-1=6+

1?( 1 3 )n?1

1? 1 3

-（n+1）×（

1

3

）^n-1，
所以T_n=

45

4

-

2n+5

4

?（

1

3

）^n-2．