Question

已知：如图PA、PB是圆O的切线，A、B是切点，连接OA、OB、OP。 （1）若∠AOP=60°，求∠OPB的度数

（2）过O作OC、OD分别交于AP、BP于C、D两点。 1.若∠COP=∠DOP，求证AC=BD 2.连接CD,设△PCD的周长为l，若l=2AP，判断直线CD与圆O的位置关系，说明理由。

Answer 1

（1）A, B为切点，∴∠OAP=∠OBP=90°
在△AOP和△BOP中，OA=OB=圆半径r；
OP为两个三角形的公共边
∴△AOP≌△BOP，∴∠OPB=∠OPA=90°-∠AOP=30°
（2）在△COP和△DOP中，已证明有∠OPA=∠OPB
又∠COP=∠DOP，OP为公共边
∴△COP≌△DOP，∴OC=OD，PC=PD
而AC=PA-PC, BD=PB-PD，
△AOP≌△BOP => PA=PB
∴有AC=PA-PC=PB-PD=BD
（3）△PCD周长L=PC+PD+CD
∵PC=PD, OC=OD，∴有OP垂直平分CD
设OP, CD交于点F，即有 CF=DF
∴L=PC+PD+CF+DF=2(PC+CF)=2AP
即可得 AP=PC+CF=PC+AC，∴AC=CF
又OP⊥CD，∴∠CFO=∠CAO=90°
又OC为公共边，∴△OCA≌△OCF，
即有OA=OF，即OF为圆的半径
CD与圆半径垂直，∴CD与圆相切

Answer 2

OPB=30°
三角形COP和DOP全等
相切