Question

高一数学：已知函数y=log0.2(-x2+4x+12),求定义域，在其上的单调性，及x∈【-1,4】上x和y最大最小值，谢啦

Answer 1

定义域为-x^2+4x+12>0，即x^2-4x-12<0
解得-2<x<6
log0.2(u)为单调递减函数
u=-x^2+4x+12=-(x-2)^2+16
在(-2,2]上为单调递增函数，在[2,6)上为单调递减函数
由复合函数的单调性性质可知
log0.2(-x^2+4x+12)在(-2,2]上为单调递减函数，在[2,6)上为单调递增函数
x∈[-1,4]时，u在[-1,2]上递增，值域为[7,16]；
在[2,4]上递减，值域为[12,16]
∴x∈[-1,4]时，u的最大值为16，最小值为7
而y=log0.2(u)为单调减函数，u取最大值时，y取最小值；u取最小值时，y取最大值
∴y最大=log0.2(7)，y最小=log0.2(16)

Answer 2

-x^2+4x+12>0
(x-6)(x+2)<0
-2<x<6
由f(x)=-(x-6)(x+2)图像可知在x∈【-1，4】
当x=2时函数有最大值16
当x=-1时有最小值7
log0.2(16)=loge(16)/loge(0.2)=-1.722706232293571
log0.2(7)=-1.209061955122168