Question

已知定义域为R的函数f(x)为奇函数,且当x<0时,f(x)=x^5+3x^2-1

已知定义域为R的函数f(x)为奇函数,且当x<0时,f(x)=x^5+3x^2-1，求f（x）在R上的解析式。
求详细过程，谢谢！！

Answer 1

当x<0时,f(x)=x^5+3x^2-1

f(x)为奇函数f(-x)=-f(x)

当x>0时 t=-x<0 f(x)=-f(-x)=-f(t)=-(t^5+3t^2-1)=-(-x^5+3x^2-1)=x^5-3x^2+1
x=0 f(0)=-f(-0)=-f(0) f(0)=0
求f（x）在R上的解析式为

（1）x<0时 f(x)=x^5+3x^2-1
（2）x=0 f(x)=0
(3)x>0 f(x)=x^5-3x^2+1

Answer 2

　　分类讨论：
　　当x<0时，f(x)=x^5+3x^2-1;
　　当x>0时，-x<0, f(-x)=(-x)^5+3(-x)^2-1,
　　由于f(x)为奇函数，故f(-x)=-f(x)=(-x)^5+3(-x)^2-1=-x^5+3x^2-1,
　　从而f(x)=x^5-3x^2+1；
　　当x=0时，f(0)=-f(0),得f(0)=0;
　　综上所述，
　　f(x)=x^5+3x^2-1(x<0);
　　 0(x=0);
　　 x^5-3x^2+1(x>0)；