Question

已知A、B、C三点在球心为O，半径为3的球面上，且几何体O-ABC为正三棱锥，若A、B两点的球面距离为π，则正

已知A、B、C三点在球心为O，半径为3的球面上，且几何体O-ABC为正三棱锥，若A、B两点的球面距离为π，则正三棱锥的侧面与底面所成角的余弦值为______．

Answer 1

作出图形， ∵A、B两点的球面距离为π， ∴球心角∠AOB= π 3 ， ∵OA=OB=3，∴AB=3． ∵几何体O-ABC为正三棱锥，∴几何体O-ABC为正四面体， 设正四面体O-ABC的棱长为2，取AC中点D，连接OD，BD， ∵OA=OC=AC=AB=BC=2， ∴OD⊥AC，BD⊥AC，OD=BD= 3 ， ∴∠ODB是正三棱锥的侧面与底面所成角， ∴cos∠ODB= ( 3 ) 2 +( 3 ) 2 - 2 2 2× 3 × 3 = 1 3 ． 故答案为： 1 3 ．