Question

已知二面角α－l－β的大小为50°，P为空间中任意一点，则过点P且与平面α和平面β所成的角都是25°的直

已知二面角α－l－β的大小为50°，P为空间中任意一点，则过点P且与平面α和平面β所成的角都是25°的直线的条数为(　　) A．2 B．3 C． 4 D．5

Answer 1

B

分析：利用线面角的概念及角平分线的性质，分析出所求直线二面角的平分面上，再根据线面角的大小变化确定出直线条数． 解：首先给出下面两个结论 ①两条平行线与同一个平面所成的角相等． ②与二面角的两个面成等角的直线在二面角的平分面上． 图1． （1）如图1，过二面角α-l-β内任一点作棱l的垂面AOB，交棱于点O，与两半平面于OA，OB，则∠AOB为二面角α-l-β的平面角，∠AOB=50° 设OP 1 为∠AOB的平分线，则∠P 1 OA=∠P 1 OB=25°，与平面α，β所成的角都是25°，此时过P且与OP 1 平行的直线符合要求，有一条．当OP 1 以O为轴心，在二面角α-l-β的平分面上转动时，OP 1 与两平面夹角变小，不再会出现25°情形． 图2． （2）如图2，设OP 2 为∠AOB的补角∠AOB′，则∠P 2 OA=∠P 2 OB=65°，与平面α，β所成的角都是65°．当OP 2 以O为轴心，在二面角α-l-β′的平分面上转动时，OP 2 与两平面夹角变小，对称地在图中OP 2 两侧会出现25°情形，有两条．此时过P且与OP 2 平行的直线符合要求，有两条． 综上所述，直线的条数共有三条． 故选B．