Question

函数y=|x-1|+2|x-2|+3|x-3|+4|x-4|的最小值是______

函数y=|x-1|+2|x-2|+3|x-3|+4|x-4|的最小值是______．

Answer 1

①x≤1时，y=1-x+2（2-x）+3（3-x）+4（4-x）=30-10x，当x=1时，y_最小值=30-10=20；
②1＜x≤2时，y=x-1+2（2-x）+3（3-x）+4（4-x）=-8x+28，当x=2时，y_最小值=28-16=12；
③2＜x≤3时，y=x-1+2（x-2）+3（3-x）+4（4-x）=-4x+20，当x=3时，y_最小值=20-12=8；
④3＜x≤4时，y=x-1+2（x-2）+3（x-3）+4（4-x）=2x+2，无最小值；
⑤x＞4时，y=x-1+2（x-2）+3（x-3）+4（x-4）=10x-30，无最小值．
综上所述，原式的最小值为8．

Answer 2

可分段讨论：

1. 若X<=1时,y=1-x+2(2-x)+3(3-x)+4(4-x)=30-10x,此段y的最小值是20（x=1时取得）

2. 若1<=x<=2时，y=x-1+2(2-x)+3(3-x)+4(4-x)=28-8x,此段y的最小值是12（x=2时取得）

3. 若2<=x<=3时，y=x-1+2(x-2)+3(3-x)+4(4-x)=20-4x,此段y的最小值是8（x=3时取得）

4. 若3<=x<=4时，y=x-1+2(x-2)+3(x-3)+4(4-x)=2+2x,此段y的最小值是8（x=3时取得）

5. 若x>=4时，y=x-1+2(x-2)+3(x-3)+4(x-4)=-30+10x,此段y的最小值是10（x=4时取得）

综合得：x=3时，y取得最小值是8