Question

如图所示,在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,P是棱CC1上的一点,CP=m,试确定m，

使直线AP与平面BDD1B1所成角的正弦值为（3根号38）/19

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Answer 1

思路分析:本谨友小题主要考查握晌橘线面关系、段团直线与平面所成的角的有关知识及空间想象能力和推理运算能力,考查运用向量知识解决数学问题的能力.

解:(1)连结AC,设AC与BD相交于点O,AP与平面BDD1B1相交于点G,连结OG,因为PC∥平面BDD1B1,平面BDD1B1∩平面APC=OG,
故OG∥PC.所以OG=PC.
又AO⊥BD,AO⊥BB1,所以AO⊥平面BDD1B1,
故∠AGO是AP与平面BDD1B1所成的角.
在Rt△AOG中,tan∠AGO=,即m=.
所以,当m=时,直线AP与平面BDD1B1所成的角的正切值为.
(2)可以推测,点Q应当是A1C1的中点O1,因为D1O1⊥A1C1,且D1O1⊥A1A,所以D1O1⊥平面ACC1A1.
又AP平面ACC1A1,故D1O1⊥AP.
那么根据三垂线定理,知D1O1在平面APD1上的射影与AP垂直.

Answer 2

连接AC、BD交侍世于O，连接A1C1、B1D1交于O1，连接OO1

显然平面ACC1A1⊥平面老斗肢BDD1B1，OO1为交线
因OO1//AA1，而AA1平面ABCD，AC⊂平面ABCD
则AC⊥OO1
又AC⊥BD，OO1、BD交于平面BDD1B1
则AC⊥平面BDD1B1,，即AO为点A到平面BDD1B1的距离
易知AP交OO1，令交点为Q
则∠AQO即为直线AP与平面BDD1B1所成角

因OO1//CC1
则∠AQO=∠APC
在RT⊿APC中销中AC=√2
AP=√(AC^2+CP^2)=√(2+m^2)
则sin∠APC=AC/AP=√2/√(2+m^2)=3√38/19
解得m=1/3