Question

在△ABC忠，若acosA=bcosB，判断三角形的形状？

为什么会有A+B=π/2,2A+2B=π

Answer 1

acosA=bcosB
2rsinAcosA=2rsinBcosB 正弦公式：a/sinA=b/sinB=c/sinC=2r
∴①sin(2A)=sin(2B) ②sin(2A)=sin(π-2B)
①2A=2B→A=B △ABC为等腰△
②2A=π-2B→A+B=½π △ABC为RT△

Answer 2

两种方法解决
第一种∶用余弦定理
cosA=(b²+c²-a²)/2bc
cosB=(a²+c²-b²)/2ac
则acosA=bcosB可变为
a(b²+c²-a²)/2bc=b(a²+c²-b²)/2ac
即(c²-a²)/b²=(c²-b²)/a²
即a²c²-a^4=b²c²-b^4
即c²(a²-b²)=a^4-b^4=(a²+b²)(a²-b²)
即(a²-b²)(a²+b²-c²)=0
即(a-b)(a²+b²-c²)=0
则a-b=0或a²+b²-c²=0
所以△ABC为等腰三角形或直角三角形
第二种∶正弦定理
a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R
则acosA=bcosB可变为
2RsinAcosA=2RsinBcosB
即Rsin2A=Rsin2B，R≠0，
sin2A=sin2B，我们知道，sinα=sin(π-α)
则2A=2B或者2A+2B=π
即A=B或A+B=π/2
所以三角形为等腰三角形或直角三角形