Question

在三角形ABC中 BA=BC 角ABC=90度 D E是AC边上的两点 且满足角DBE=2分之1角ABC 求证 DE^2=AD^2+EC^2

Answer 1

证明：过点C作CG⊥AC，取CG＝AD，连接EG、BG（G、B在AC的同一侧）
∵BA＝BC，∠ABC＝90
∴∠A＝∠ACB＝45
∵CG⊥AC
∴∠ACG＝90
∴CG²+CE²＝GE²
∵∠BCG＝∠ACG-∠ACB＝45
∴∠BCG＝∠A
∵CG＝AD
∴△ABD≌△CBG （SAS）
∴BG＝BD，∠CBG＝∠ABD
∵∠DBE＝∠ABC/2
∴∠DBE＝45
∴∠ABD+∠CBE＝∠ABC-∠DBE＝45
∴∠GBE＝∠CBG+∠CBE＝∠ABD+∠CBE＝45
∴∠GBE＝∠DBE
∵BE＝BE
∴△GBE≌△DBE （SAS）
∴GE＝DE
∴AD²+CE²＝DE²