Question

已知:如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,直线l经过顶点C,过A,B两点分别作l的垂线AE和BF，且E,F为垂足。

（1）求证：EF＝AE+BF；（2）取AB的中点M，连结ME，MF。试判断△MEF的形状，并说明理由。

Answer 1

证明：
1）∵∠ACE+∠EAC=90°,∠ACE+∠BCF=90°
∴∠EAC=∠BCF
∵∠AEC=∠BFC=90°,AC=BC
∴⊿AEC≌⊿CFBB（AAS）
∴AE=CF,EC=BF
∴EF=EC+CF=BF+AE
2)连接CM
∵△ABC是等腰直角三角形，AM=BM
∴CM⊥AB,∠ACM=∠MCB=45°
∴CM=AM=1/2AM
∵∠EAM=∠EAC+∠CAM=∠EAC+45°
∵∠MCF=∠BCF+∠MCB=∠BCF+45°
∵∠EAC=∠BCF
∴∠MAE=∠MCF
∵AE=CF,AM=CM
∴⊿MAE≌⊿MCF(SAS)
∴EM=MF,∠CMF=∠AME
∵∠AMC=90°
∵∠AMC=∠CME+∠AME=∠CME+CMF=∠EMF
∴∠AME=∠EMF=90°
∴△MEF是等腰直角三角形
希望满意采纳。

Answer 2

证明：
1）∵∠ACE+∠EAC=90°,∠ACE+∠BCF=90°
∴∠EAC=∠FCB
∵∠AEC=∠BFC=90°,AC=BC
∴⊿AEC≌⊿CFBB
∴AE=CF,EC=FB
∴EF=EC+CF=BF+AE

Answer 3