Question

如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD=AB=4，E、F、G分别是PC、PD、BC的中点．（1

如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD=AB=4，E、F、G分别是PC、PD、BC的中点．（1）求证：PA ∥ 平面EFG（2）求三棱锥P-EFG的体积（3）求点P到平面EFG的距离．

Answer 1

证明：（1）∵E、G分别是PC、BC的中点 ∴EG是△PBC的中位线 ∴EG ∥ PB 又∵PB?平面PAB，EG?平面PAB ∴EG ∥ 平面PAB ∵E、F分别是PC、PD的中点 ∴EF ∥ CD 又∵底面ABCD为正方形 ∴CD ∥ AB ∴EF ∥ AB 又∵AB?平面PAB，EF?平面PAB ∴EF ∥ 平面PAB 又EF∩EG=E ∴平面EFG ∥ 平面PAB ∵PA?平面PAB ∴PA ∥ 平面EFG （2）∵底面ABCD为正方形 ∴GC⊥CD ∵PD⊥平面ABCD ∴GC⊥PD 又∵CD∩PD=D ∴GC⊥平面PCD ∴GC为三棱锥G-PEF的高 ∵PD=AB=4 ∴ S △PEF = 1 4 S △PCD = 1 4 ? 1 2 ?PD?CD=2 GC= 1 2 BC=2 ∴V P-EFG =V G-PEF = 1 3 ×2×2= 4 3 （3）取AD的中点M．连接MF并延长，过P作PN⊥MF=N． ∵EF⊥PD，EF⊥AD，PD∩AD=D ∴EF⊥平面PDA， ∵PN?平面PDA， ∴EF⊥PN， 又∵PN⊥MN，MN∩EF=F ∴PN⊥平面FEMG 即PN是点P到平面EFG的距离， 在△PNF中，PF=2，∠PFN=45° ∴ PN= 2 即点P到平面EFG的距离为 2 ．