对于定义域为D的函数y=f（x），如果存在区间[m，n]?D，同时满足下列条件：①f（x）在[m，n]内是单调的；
对于定义域为D的函数y=f（x），如果存在区间[m，n]?D，同时满足下列条件：①f（x）在[m，n]内是单调的；②当定义域是[m，n]时，f（x）的值域也是[m，n]时...
对于定义域为D的函数y=f（x），如果存在区间[m，n]?D，同时满足下列条件：①f（x）在[m，n]内是单调的；②当定义域是[m，n]时，f（x）的值域也是[m，n]时，则称[m，n]是该函数的“和谐区间”．（1）判断函数y＝3?4x是否存在“和谐区间”，并说明理由；（2）如果[m，n]是函数y＝(a2+a)x?1a2x(a≠0)的一个“和谐区间”，求n-m的最大值；（3）有些函数有无数个“和谐区间”，如y=x，请你再举一类（无需证明）
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（1）设[m，n]是函数y＝3?
的“和谐区间”，则y＝3?
在[m，n]上单调．
所以[m，n]?（-∞，0）或[m，n]?（0，+∞）
因此，y＝3?
在[m，n]上为增函数．
则f（m）=m，f（n）=n．即方程3?
＝x有两个解m，n
又3?
＝x可化为x2-3x+4=0，而x2-3x+4=0无实数解．
所以，函数y＝3?
不存在“和谐区间”
（2）因为f(x)＝
＝
?
在[m，n]上是单调的，
所以[m，n]?（-∞，0）或[m，n]?（0，+∞）
则f（m）=m，f（n）=n
所以m，n是
?
＝x的两个同号的实数根
即方程a2x-（a2+a）x+1=0有两个同号的实数根，注意到mn＝
＞0
只要△=（a2+a）2-4a2＞0，解得a＞1或a＜-3
所以n?m＝
＝
＝
＝
| 4 |
| x |
| 4 |
| x |
所以[m，n]?（-∞，0）或[m，n]?（0，+∞）
因此，y＝3?
| 4 |
| x |
则f（m）=m，f（n）=n．即方程3?
| 4 |
| x |
又3?
| 4 |
| x |
所以，函数y＝3?
| 4 |
| x |
（2）因为f(x)＝
| (a2+a)x?1 |
| a2x |
| a+1 |
| a |
| 1 |
| a2x |
所以[m，n]?（-∞，0）或[m，n]?（0，+∞）
则f（m）=m，f（n）=n
所以m，n是
| a+1 |
| a |
| 1 |
| a2x |
即方程a2x-（a2+a）x+1=0有两个同号的实数根，注意到mn＝
| 1 |
| a2 |
只要△=（a2+a）2-4a2＞0，解得a＞1或a＜-3
所以n?m＝
| (m+n)2?4mn |
(
|
?
|
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