Question

对于定义域为D的函数y=f（x），若同时满足下列条件：①f（x）在D内单调递增或单调递减；②存在区间[a，b]

对于定义域为D的函数y=f（x），若同时满足下列条件：①f（x）在D内单调递增或单调递减；②存在区间[a，b]?D，使f（x）在[a，b]上的值域为[a，b]；那么把y=f（x）（x∈D）叫闭函数．（1）求闭函数y=-x3符合条件②的区间[a，b]；（2）判断函数f(x)＝34x+1x (x＞0)是否为闭函数？并说明理由；（3）若y＝k+x+2是闭函数，求实数k的取值范围．

Answer 1

（1）由题意，y=-x³在[a，b]上递减，
则

b＝?a3 a＝?b3 b＞a

解得

a＝?1 b＝1

（4分）
所以，所求的区间为[-1，1]；（5分）
（2）取x₁=1，x₂=10，则f(x1)＝

7

4

＜

76

10

＝f(x2)，
即f（x）不是（0，+∞）上的减函数．
取x1＝

1

10

，x2＝

1

100

，
f(x1)＝

3

40

+10＜

3

400

+100＝f(x2)，
即f（x）不是（0，+∞）上的增函数
所以，函数在定义域内不单调递增或单调递减，
从而该函数不是闭函数；（9分）
（3）若y＝k+

x+2

是闭函数，则存在区间[a，b]，
在区间[a，b]上，函数f（x）的值域为[a，b]，
即

a＝k+ a+2 b＝k+ b+2

，∴a，b为方程x＝k+

x+2

的两个实数根，
即方程x²-（2k+1）x+k²-2=0（x≥-2，x≥k）有两个不等的实根（11分）
当k≤-2时，有

△＞0 f(?2)≥0 2k+1 2 ＞?2

，解得?

9

4

＜k≤?2，（13分）
当k＞-2时，有

△＞0 f(k)≥0 2k+1 2 ＞k

，无解，（15分）
综上所述，k∈(?

9

4

，?2]．