Question

已知函数f（x）在R+上可导，f（x）＞0，limx→+∞f(x)=1，且满足limh→0(f(x+hx)f(x))1h=e1x，求f（x）

已知函数f（x）在R+上可导，f（x）＞0，limx→+∞f(x)=1，且满足limh→0(f(x+hx)f(x))1h=e1x，求f（x）．

Answer 1

设y=(

f(x+hx)

f(x)

)

1

h

两边取对数得
lny=

1

h

ln

f(x+hx)

f(x)

因为

lim

h→0

lny=

lim

h→0

1

h

ln

f(x+hx)

f(x)

=

lim

h→0

x[lnf(x+hx)-lnf(x)]

hx

=x[lnf（x）]'
故

lim

h→0

(

f(x+hx)

f(x)

)

1

h

=ex[lnf(x)]′
由已知条件知ex[lnf(x)]′=e

1

x

因此x[lnf(x)]′=

1

x

即[lnf(x)]′=

1

x2

解得
f(x)=Ce-

1

x

又

lim

x→+∞

f(x)=1得C=1
故 f(x)=e-

1

x