Question

已知a为常数，函数f（x）=x（lnx-ax）有两个极值点x1，x2（x1＜x2）（　　）A．f(x1)＞0，f(x2)＞?12B．f

已知a为常数，函数f（x）=x（lnx-ax）有两个极值点x1，x2（x1＜x2）（　　）A．f(x1)＞0，f(x2)＞?12B．f(x1)＜0，f(x2)＜?12C．f(x1)＞0，f(x2)＜?12D．f(x1)＜0，f(x2)＞?12

Answer 1

∵f′(x)＝lnx?ax+x(

1

x

?a)=lnx+1-2ax，（x＞0）
令f′（x）=0，由题意可得lnx=2ax-1有两个解x₁，x₂?函数g（x）=lnx+1-2ax有且只有两个零点
?g′（x）在（0，+∞）上的唯一的极值不等于0．
g′(x)＝

1

x

?2a＝

1?2ax

x

．
①当a≤0时，g′（x）＞0，f′（x）单调递增，因此g（x）=f′（x）至多有一个零点，不符合题意，应舍去．
②当a＞0时，令g′（x）=0，解得x=

1

2a

，
∵x∈(0，

1

2a

)，g′（x）＞0，函数g（x）单调递增；x∈(

1

2a

，+∞)时，g′（x）＜0，函数g（x）单调递减．
∴x=

1

2a

是函数g（x）的极大值点，则g(

1

2a

)＞0，即ln

1

2a

+1?1＝?ln(2a)＞0，
∴ln（2a）＜0，∴0＜2a＜1，即0＜a＜

1

2

．
∵0＜x1＜

1

2a

＜x2，f′（x₁）=lnx₁+1-2ax₁=0，f′（x₂）=lnx₂+1-2ax₂=0．
且f（x₁）=x₁（lnx₁-ax₁）=x₁（2ax₁-1-ax₁）=x₁（ax₁-1）＜x₁（-ax₁）=?a

x

2 1

＜0，
f（x₂）=x₂（lnx₂-ax₂）=x₂（ax₂-1）＞1×(a×

1

2a

?1)=-

1

2

．（

1

2a

＞1）．
故选D．