Question

如何证明[0,1]中的所有数均为该数列的某子数列的极限？

该数列为1/1,1/2,2/2,1/3,2/3,3/3,1/4,2/4,3/4,4/4,..........

Answer 1

证明：
设 r∈(0,1), 则存在 ε(0)>0, 使得 (r-ε(0),r+ε(0) ) 成为 (0,1)的子区间。由有理数的稠密性，存在有理数 [n(0)/m(0)]∈ (r-ε(0),r+ε(0)), 记a(0)=n(0)/m(0). 取 ε(1)=（1/2）ε(0), 则存在有理数 [n(1)/m(1)]∈ (r-ε(1),r+ε(1))，
1. 如果 m(1)=m(0),
n(1)=n(0),记 a(1)=2n(1)/(2m(1)). n(1)>n(0), 记 a(1)=n(1)/m(1)
2. 如果 m(1)>m(0), 记 a(1)=n(1)/m(1)
3. 如果 m(1)<m(0),则存在自然数k 使得 km(1)>km(0)且kn(1)>kn(0),此时，记a(1)=kn(1)/(km(1)).
如此得到的a(1)是数列中排在 a(0) 后面的项。
重复上面的过程，对 ε(n)=（1/(2^n)）ε(0),可以得到 a(n)∈ (r-ε(n),r+ε(n))，,这样得到原数列的一个子数列 a(0),a(1),......,a(n),......
下面证明这个数列的极限是 r .
对任意的 ε>0, 因为 ε(n)=（1/(2^n)）ε(0), 故存在 N 当 n>N 时，ε(n)<ε,此时有 a(n)∈ (r-ε(n),r+ε(n))，从而有 a(n)∈ (r-ε,r+ε),即数列a(n)以 r 为极限。
对 r=0,1 的情况，只需将上面的领域改成单侧邻域即可。

m(1)≥m(0)