Question

如图，已知四边形ABCD是矩形，PD垂直平面ABCD，PD＝DC＝a，AD＝根号2a，M，N分别是AD、PB的中点，求证...

如图，已知四边形ABCD是矩形，PD垂直平面ABCD，PD＝DC＝a，AD＝根号2a，M，N分别是AD、PB的中点，求证：平面MNC垂直平面PBC。

Answer 1

根据已知条件画图，如图

 

PD⊥ABCD，BC⊥DC

PBC⊥PDC

 

PD=DC=a，PC=√2a，BC=AD=√2a，N是PB中点

CN⊥PB

 

∠PDM=∠BAM=90，DM=AM，PD=AB=a

RT△PDM≌RT△BAM

PM=BM

MN⊥PB

 

PB⊥MNC

PCB⊥MNC

Answer 2

PD=DC=a，所以PC=a*根号2
PD⊥面ABCD，所以PD⊥BC，
所以BC⊥面PDC，
所以BC⊥PC，△PBC是等腰直角△；
N为PB中点，PB⊥CN；
△ DCM和△CBD为直角三角形，
DC/DM=根号2=BC/CD；
△ DCM相似于△CBD；
所以∠CDB=∠DMC，
所以∠CDB+∠DCO=90°=∠COD，
所以CO⊥OD；又CO⊥DP，
所以CO⊥面DPB；所以CO⊥PB
所以PB⊥面MNC
又PB∈平面PBC
所以平面MNC垂直平面PBC

Answer 3

PD=DC=a，所以PC=a乘根号2
PD⊥面ABCD，所以PD⊥BC，
所以BC⊥面PDC，
所以BC⊥PC，△PBC是等腰直角△；
N为PB中点，PB⊥CN；
△ DCM和△CBD为直角三角形，
DC/DM=根号2=BC/CD；
△ DCM相似于△CBD；
所以∠CDB=∠DMC，
所以∠CDB+∠DCO=90°=∠COD，
所以CO⊥OD；又CO⊥DP，
所以CO⊥面DPB；所以CO⊥PB
所以PB⊥面MNC
又PB∈平面PBC
所以~~~~~~