Question

高数积分，好难……

就求一积分，证明∫(0,2π)cos(2cosθ)sin(nθ)dθ = 0

Answer 1

实际上这个题目不难，因为积分等于零，容易想到采用奇函数的积分性质来进行求证。
∫(0,2π)cos(2cosθ)sin(nθ)dθ=∫(-π,π)cos(2cos(θ-π))sin(n(θ-π))d(θ-π)
=∫(-π,π)cos(2cos(θ))sin(n(θ-π))d(θ)
对于只需证明cos(2cos(θ))sin(n(θ-π))在区间[-π，π]上为奇函数即可，很显然前者为偶函数，后者sin(n(θ-π))=(-1)^n*sin(nθ)为奇函数，根据结论如果f(x)为奇函数，则∫(-π,π)f(x)=0

Answer 2

∫(0,2π)cos(2cosθ)sin(nθ)dθ
=∫(0,π)cos(2cosθ)sin(nθ)dθ+∫(π,2π)cos(2cosθ)sin(nθ)dθ
对第2个积分，代换：t=θ-2π
∫(π,2π)cos(2cosθ)sin(nθ)dθ=∫(-π,0)cos(2cost)sin(nt)dt=∫(-π,0)cos(2cosθ)sin(nθ)dθ
所以：
∫(0,2π)cos(2cosθ)sin(nθ)dθ=∫(-π,π)cos(2cosθ)sin(nθ)dθ
=0 （sin(nθ)为奇函数，cos(2cosθ)为偶函数，乘积为奇函数）