Question

已知函数f（x）=ax∧2－（a+2）x+lnx 1.当a=1时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程

2，当a＞0时，若f（x）在区间［1.e］上的最小值-2，求a的范围

Answer 1

1，由f（x）=ax∧2－（a+2）x+lnx 得
f′（x）=2ax－（a+2）+1/x
当 a=1，x=1时 f（1）=-2
f′（1）=2－3+1=0
曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程 y=-2
2，f'(x)=2ax-(a+2)+1/x
=[2ax^2-(a+2)x+1]/x,
=2a(x-1/2)(x-1/a)/x,
0<a<2时1/a>1/2 a>2时1/a<1/2.
（1) a>1时1/a<1，f'(x)>0 (x∈[1,e]),
f(x)|min=f(1)=-2，满足题设。
（2) 1/e<=a<=1时1<=1/a<=e，
f(x)|min=f(1/a)=1/a-(a+2)/a-lna=-2，
(a-1)/a=lna,①
设g(x)=xlnx-x+1，1/e<=x<=1，,
g'(x)=lnx<=0，
所以 g(x)减函数，g(1)=0，
所以 ①有唯一解a=1。.
（3)0<a<1/e时f'(x)<0，f(x)|min=f(e)=ae^2-(a+2)e+1=-2，
a(e^2-e)=2e-3
a=(2e-3)/(e^2-e)>1/e(舍）。
综上，a>=1.