Question

设函数f（x）=ax- b x ，曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为7x-4y-12=0．（Ⅰ）求f

设函数f（x）=ax- b x ，曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为7x-4y-12=0．（Ⅰ）求f（x）的解析式；（Ⅱ）曲线y=f（x）上任一点处的切线与直线x=0和直线y=x所围成的三角形面积为定值，并求此定值．

Answer 1

（Ⅰ）求导函数可得：f′（x）=a+ b x 2 ∵曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为7x-4y-12=0． ∴f（2）= 1 2 ∴a+ b 4 = 7 4 ，2a- b 2 = 1 2 ∴a=1，b=3 ∴f（x）的解析式为f（x）=x- 3 x ； （Ⅱ）设（x 0 ，x 0 - 3 x 0 ）为曲线f（x）上任一点，则切线的斜率为1+ 3 x 0 2 ， ∴切线方程为y-（x 0 - 3 x 0 ）=（1+ 3 x 0 2 ）（x-x 0 ）， 令x=0，可得y=- 6 x 0 由切线方程与直线y=x联立，求得交点横坐标为x=2x 0 ∴曲线f（x）上任一点处的切线与直线x=0和直线y=x所围成的三角形面积为定值 1 2 ×|2x 0 |×|- 6 x 0 |=6