Question

如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，点P是直径AB上的一点，（不与A，B重合），过点P作AB的垂线交BC的延长

如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，点P是直径AB上的一点，（不与A，B重合），过点P作AB的垂线交BC的延长线于点Q. （1）点D在线段PQ上，且DQ=DC.求证：CD是⊙O的切线；（2）若sinQ= ，BP=6，AP= ，求QC的长.





Answer 1

（1）证明见解析；（2） .

试题分析：（1）连结OC，由OC=OB得∠2=∠B，DQ=DC得∠1=∠Q，根据QP⊥PB得到∠Q+∠B=90°，则∠1+∠2=90°，再利用平角的定义得到∠DCO=90°，然后根据切线的判定定理得到CD为⊙O的切线； （2）连结AC，由AB为⊙O的直径得∠ACB=90°，根据余弦的定义得cosB= ，可计算出BC= ，在Rt△BPQ中，利用余弦的定义得cosB= ，可计算出BQ=10，然后利用QC=BQ-BC进行计算即可． 试题解析：证明：连接 ， ∵ ， ∴ . ∵ ， ∴ . ∵ ， ∴ . ∴ . ∴ .  ∴ ， ∴ ∵ 是⊙ 的半径， ∴ 是⊙ 的切线. （2）连接 ， 在 中， ， ∴ ， ∵ 是⊙ 的直径， ∴ . 在 中， ∴ . ∴ . 考点: 1.切线的判定；2.解直角三角形．