Question

设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c且acosC+ 1 2 c=b．（1）求角A的大小；（2）若a=1

设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c且acosC+ 1 2 c=b．（1）求角A的大小；（2）若a=1，求△ABC的周长l的取值范围．

Answer 1

（1）∵accosC+ 1 2 c=b， 由正弦定理得2RsinAcosC+ 1 2 2RsinC=2RsinB， 即sinAcosC+ 1 2 sinC=sinB， 又∵sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC， ∴ 1 2 sinC=cosAsinC， ∵sinC≠0， ∴ cosA= 1 2 ， 又∵0＜A＜π， ∴ A= π 3 ． （2）由正弦定理得：b= asinB sinA = 2sinB 3 ，c= 2sinC 3 ， ∴l=a+b+c =1+ 2 3 （sinB+sinC） =1+ 2 3 （sinB+sin（A+B）） =1+2（ 3 2 sinB+ 1 2 cosB） =1+2sin（B+ π 6 ）， ∵A= π 3 ，∴B ∈(0， 2π 3 ) ，∴B+ π 6 ∈( π 6 ， 5π 6 ) ，∴ sin(B+ π 6 ) ∈( 1 2 ，1] ， 故△ABC的周长l的取值范围为（2，3]． （2）另周长l=a+b+c=1+b+c， 由（1）及余弦定理a 2 =b 2 +c 2 -2bccosA， ∴b 2 +c 2 =bc+1， ∴（b+c） 2 =1+3bc≤1+3（ b+c 2 ） 2 ， 解得b+c≤2， 又∵b+c＞a=1， ∴l=a+b+c＞2， 即△ABC的周长l的取值范围为（2，3]．